Kombinace

Kombinace vyjadřují počet všech unikátních k – členných uspořádání prvků z počtu n všech prvků možných. Fakticky k vyjadřuje počet prvků v řádku. Výpočet kombinací pak reprezentuje počet všech různých řádků (k-tic). Proto z pohledu výpočtu nahlížíme na jednotlivý řádek jako na prvek množiny kombinací.

Pojem kombinací bývá definován jako uspořádaná množina, kde nezáleží na pořadí prvků. To je ale poměrně dost zavádějící. Vystihuje to jen jakousi selskou vychytralost. Ta vychází z toho, že prvky mohou být mimo jiné (není to podmíněno) vybaveny například znakem čísla. Čísla mohou být přeházené v pořadí na řádku. – Stejně je čteme jako setříděné. Je to běžná praxe například při losování KENO a podobně. Takovou volnost výkladu vyřešíme v kapitole “Teorie kombinatoriky”. Prvky kombinatorických množin jsou totiž logické a dané pořadím Euklidovy číselné osy. Tak provádíme určení a v praxi pomocí substituce zadáme místo číselných prvků například “hrušky, nebo jablka”, ale už jen “vzestupně setříděné”.

Ve skutečnosti jsou kombinace podmnožinou (subset) variací. Kombinace od variací odlišíme jedině tak, že kombinace jsou setříděny v řádku vzestupně. Variace jsou typické tím, že nemají setříděné pořadí. Pravdou také je, že jsou nadmnožinou pro kombinace, a proto je také obsahují.

Latex formula

A ještě musím upozornit na jeden detail: Jsou – li kombinace definovány jako množina, nemohou mít “opakující se prvky” – to lze zjistit nahlédnutím do každé poučky, která se zabývá množinami.

Kombinace se často používají jako nesprávný výraz. Lidově se používají často pro pojmy, které jsou ve skutečnosti například variacemi, nebo variacemi s opakováním.

____________________________________________________
Kombinace se zapisují nejčastěji takto A:
Latex formula

Tento vzorec se používá jako schematický zápis (konvence) pro tištěné odborné a školské publikace
___________________________________________________
Setkáme se také s následující podobou B:
Latex formula

Tento vzorec se používá nejčastěji jako zápis algoritmu. Popisuje totiž postup výpočtu na rozdíl od předchozího vzorce, který je vlastně domluvenou značkou.
____________________________________________________
Nebo se setkáme také s následující podobou C:
Latex formula

Tento vzorec se používá nejčastěji jako popis algoritmu pro programový kód. Důvodem je funkce faktoriál. Faktoriál bývá definován ve většině knihoven, ale naopak výpočet kombinací tam zahrnut není. Je to i logické. Uvedením správných vztahů dosáhneme výpočtu nejen kombinací, ale také variací. Proto by byly vestavěné funkce kombinací a variací zbytečným přepychem.
____________________________________________________
Také se setkáme se zápisem používaným v tabulkových procesorech D:
Latex formula
To zase vychází ze syntaxe tabulkových procesorů, kde se takto zadávají parametry funkce “=COMBIN(n;k)”. Zápis pro účely schematického popisu (výrazová zkratka) může být upraven například “Combi(n,k)”, “Comb(n.k)”….”C(n.k)”. Ve skutečnosti je funkce podle tohoto popisu zpracována strojem jako algoritmus s faktoriály – tedy podle předcházejícího zápisu. Na vybavení tabulkových procesorů jsou kladeny jiné požadavky, nežli na “obyčejný programový kód”. Uživatel zde většinou není programátorem, a vyžaduje komfortní možnost zadávat přímo kombinace, variace a tak podobně.

____________________________________________________

Ještě musíme upozornit na zajímavou vlastnost, která říká, že výběrů k je stejně jako výběrů n – k. V Teorii kombinatoriky tuto vlastnost nazývám sigma – aditivitou. Správně je to “Partition Numerorum 2. třídy ze základu n”. Snadno to lze pochopit také nahlédnutím do Pascalova trojúhelníku. Například PN(9,2) – čteme : Partition Numerorum 2. třídy (k = 2) ze základu n = 9 .
0+9 = 9 → C(0,9) = C(9,9) ( = 1)
1+8 = 9 → C(1,9) = C(8,9) ( = 9)
2+7 = 9 → C(2,9) = C(7,9) ( = 36)
3+6 = 9 → C(3,9) = C(6,9) ( = 84)
4+5 = 9 → C(4,9) = C(5,9) ( = 126)
_____________________________
Sečteme všechny různé kombinace : C(0,9) + C(1,9) + C(2,9) + C(3,9) + C(4,9) + C(5,9) + C(6,9) + C(9,9) + C(8,9) + C(9,9) = 512 = 2^9. Výraz 2^9 reprezentuje jednu celou Pascalovu třídu n což je vlastně 1 celý řádek v Pascalově trojúhelníku
. To má poměrně veliký význam – více v Teorii pravděpodobnosti.
____________________________________________________

Více je téma rozvedeno v RUBRICE Klasická kombinatorika
V RUBRICE Algoritmy bude postupně zveřejněno mnoho různých algoritmů, scriptů, maker a odkazů.
Připravuji také možnost stažení praktických ukázek funkčních maker (programů) v sešitech Open Office (ApacheOffice, LibreOffice). Tím je umožněno každému používat například generátory kombinací, nebo jen vzorce kombinací z uživatelského prostředí. Open Office je ke ztažení zadarmo a makra mnou poskytnutá také. To neplatí o případných požadavcích na vyhotovení určitého typu generátoru. Nejde jen o můj čas, existují také placené programy, které mnohdy vytváří tým programátorů. A nakonec když to někdo potřebuje k hazardu na který má peníze, bude mít i na zaplacení programu. Takže pokud něco podobného budu dělat – tak ne zadarmo. Ale v nejbližší době na nic podobného čas mít nebudu.

Digiprove sealCopyright secured by Digiprove © 2013-2016 Petr Neudek
Přejít k navigační liště