NOVÁ KOMBINATORIKA

ÚVOD

Toto je úvodní kapitola která má za úkol objasnit pojem KONSTRUKTIVNÍ KOMBINATORIKA ze všech úhlů pohledu. Vycházím při tom ze skutečnosti, že práce je určena co nejširšímu okruhu zájemců. Takže většina práce se skládá z názorných příkladů a komentářů které vyhovují intuitivnímu pochopení. Některé pasáže jsou určeny pouze pro zájemce z okruhu akademicky vzdělaných zájemců nebo dokonce specializovaných matematiků či programátorů. Jsou většinou až za intuitivním popisem, který je někdy až infantilní.


AUTOR

Jmenuji se Petr Neudek. V roce 2018 kdy zveřejňuji tuto práci jsem překročil věkovou hranici 64 let. Jsem tedy stejně starý jako Rock and roll. Nevím jestli bych měl ještě něco přidat, ale z biografie snad jen to, že jsem byl 2x ženatý, mám 4 děti a 7 vnoučat. Potřetí jsem se oženil už jen s kombinatorikou a později ještě s informatikou. Celkem symbolická čísla 2, 3, 4 a 7 proto tato autobiografie zcela zapadá do tématu které se týká zejména jen čísel. Je to také moje víra protože čísla pro mne reprezentují boha ve formě prapůvodní singularity se 4-mi rozměry ze které vzešlo vše co existuje. Číslo 4 je velmi unikátní. Jako jediné číslo má vlastnost 2+2 = 2^2. To je sice celkem evidentní a známé. Už ale není známé, že vždy když narazíte na obecný paradox zejména na singularitu ve smyslu fyzikálním nebo matematickém – tak je to zaručeně božský problém 🙂


ABSTRAKT

Tato práce by měla dopomoci k pochopení hlubokého významu kombinatoriky, rozšířit znalosti v rámci aplikací, ale zejména položit spojku mezi kombinatorikou z konce 19. století a moderní pojetí axiomatizované matematiky. V kombinatorice která ustrnula na začátku 20. století a propadla se mezi základní učivo středních škol jako uzavřená problematika se vyskytovalo a vyskytuje poměrně dost výrokových nedostatků. Tato skutečnost má až takovou takovou míru nedostatků, že je téměř nemožné popsat kombinatoriku pomocí logiky a množin. Což je základ axiomatizace. Rehabilitace kombinatoriky 

Mimo toho by tato práce měla pomoci s řešením mnoha problémů zejména v rámci Teorie čísel. V tomto směru se jedná především o Hilbert a Landau problémy, nebo lépe s Goldbach čísly. Zde ale nezacházíme do hloubky daných problémů. Někdy bude uvedena poznámka na co řešení ukazuje, mnohdy ale musí čitatel dovodit spojitost bez poznámky. Také by mělo být pochopeno, že bez zahrnutí ENTROPIE v podobě Partitio Numerorum (PN) nelze dobře pochopit význam kombinatoriky.


BERGER’S TABLE

Toto je záměrně zvolená první kapitola. Bergrovy tabulky jsou celkem běžným prostředkem zejména v rámci rozdělení různých turnajů sportovního charakteru. Celkem je znám i skript na generování a určitá část vědecké komunity si je vědoma důležitosti tohoto pojmu. Proto tak mohu navázat aniž bych vysvětloval zbrusu nový pojem. Domnívám se dokonce, že i témata zabudovaná do této kapitoly jsou už v ohnisku zájmů určitých studií a projektů. Proto se mi zdá toto téma vhodné jako úvodní do problematiky KOMBINATORICKÝCH KONSTRUKCÍ.


ZÁKLADEM VŠEHO JSOU DVOJICE

Dvojice jsou známé jako základ rodiny a rodina zase jako základ státu. Tohle je absolutní pravda zejména z pohledu filozofického, který se opírá o čistou pragmatičnost v rámci žití a ve vyšším stupni také civilizačního faktoru. Důsledkem civilizačního rozvoje dochází k nárůstu obecné inteligence komunitních společenstev. Prostředkem je sdílení a následné využití informací.

Je celkem známou skutečností, že za úspěchem dnešní doby – řekněme 21 století stojí výpočetní technika, tedy počítače. Počítače stojí ne náhodou na dvojkové soustavě. Za úspěchem obecného života stojí také určitý druh dvojkové soustavy. Tato soustava je ale spíše systémem „dvojitě“ binárním. Sestává ze 4 různých základních prvků jako DNA (A, G, C, U), nebo ve verzi RNA (A, G, C, T) kde je „substitučně“ vložen 5. prvek (T místo U). Když se hovoří o DNA tak každému se vybaví pojem „dvojitá šroubovice se základem v bázových párech“. Celý systém má 64 základních stavebních kamenů KODONŮ které jsou sami o sobě TROJICEMI základních nukleotidů. Z těch je stvořeno vše živé.

Sám život je tedy postaven z 64 prefabrikátů a stojí na trojicích (variace s opakováním 3. třídy celku 4 >> výraz V‘(4,3) = 64) a tyto trojice zase na dvojicích z celku 4. Číslo 4 je velmi zajímavé samo o sobě protože 4/2 = sqrt(4) neboli 2*2 = 2+2 a je to jediné číslo s touto vlastností. Takže žádná náhoda mezi výší inteligence a dvojkou jako dvojicí jednic. Existuje přímá logická vazba mezi životem obecně a informatikou – touto vazbou jsou dvojky.


KOMBINATORIKA V PROSTORU

Navazujeme na téma uvedené dříve v kapitole ZÁKLADEM VŠEHO JSOU DVOJICE. Nejprve se dotkneme opatrně trojic a pak také vyšších k – tic.

Tvrzení z této kapitoly má dvě základní vyjádřené alternativy. Dovolím si vyjádřit že se jedná o dvě podstatná paradigmata.

Jednou z alternativ jsou symetrické matice které nelze sestrojit. Jedná se zejména o matice 6×6 a 8×8 známé jako problém Latinských čtverců.

Další alternativou jsou systémy matic které lze sestrojit, ale nejsou to symetrické krychle. A to je alternativa právě například pro symetrické krychle které nelze sestrojit. Jde většinou o čtverce se sudým čtvercem prvků. Přes to existují nejméně dva případy které sestrojit lze. konkrétně 2^2 a 4^2.

Vždy z obecného pohledu lze sestrojit prostorový útvar. Rozdíl je pouze v jaké symetrii je prostor vytvořen. Mnohdy lze úspěšně sestrojit z původně nesymetrického prostoru prostor dobře uspořádaný například ve formě tenzorů ale také odvozených symetrických matic.


PRVOČÍSELNÉ ČTVERCE

Prvočísla jsou ze všech úhlů pohledu velkou neznámou. Ale pro KONSTRUKTIVNÍ KOMBINATORIKU jsou přímo požehnáním. Na čtvercích prvočísel můžeme aplikovat velmi jednoduchý algoritmus kterým sestrojíme prostor 3D.


ACTUS PRVOČÍSELNÝCH ČTVERCŮ

Jde o skalární řadu povýšení všech sestrojitelných symetrických 3D systémů na systémy nesymetrické.

ACTUS se jeví také jako vhodný nástroj pro konstrukci prvočíselné řady. V některých případech úprava vede přímo na prvočíslo, ale dá se očekávat že častěji se bude jednat o systémy které mají základ v součinu dvou prvočísel.

ACTUS je v principu algoritmus s poměrně širokým spektrem možných aplikací. Patří mezi nástroje KONSTRUKTIVNÍ KOMBINATORIKY.


LICHÉ ČTVERCE

V případě lichých čtverců je situace trošku lepší, nežli u sudých čtverců. Zřejmě jen velmi mírně lepší.

Problematika lichých čtverců není dobře prozkoumána. Vše naznačuje tomu, že by mohlo existovat řešení pro všechna lichá čísla. Příklad ukazuje systém kombinací 2. třídy ze základu 81, což je čtverec čísla 9. Devítka je první liché číslo, protože před tímto jsou pouze sudá čísla a prvočísla. Devítka je ale specifická tím, že je to mocnina čísla 3 a není tedy typickým lichým číslem.

Domnívám se že existuje řešení i pro systémy lichých čísel, které jsou součinem dvou prvočísel. Podat validní důkaz je velice obtížné vzhledem k potřebné výpočetní kapacitě.

Při tom se musí počítat s variantou, že některá lichá čísla je možné zpracovat pomocí prvočíselného algoritmu bez úprav, ale někdy bude úprava nutná. Můžeme očekávat případy kdy se problém bude muset řešit výhradně hrubou silou. Z toho pak lze vytvořit nový typ algoritmu, nebo potvrdit validně, že konkrétní systém nemá řešení.


SUDÉ ČTVERCE

Problém sudých čtverců je největší výzvou kombinatorických konstrukcí. V době kdy píšu tyto stránky znám mimo čtverce 2×2 pouze částečné setřídění čtverců 4×4. Při tom jsou sudé čtverce zajímavé zejména pro informatiku. Výzvou jsou zejména čtverce 6×6 a 8×8 plus další čtverce binární řady.

Přes to, že je znám problém Latinských čtverců a vím jaké je podstata, tak doufám že se najde obecné řešení pro čtverce sudých čísel. Ona stačí maličkost a je po problému.

Když se použije na čtverec sudého čísla prvočíselný algoritmus, tak funguje přesně do poloviny rozvoje. Poté opakuje od začátku. Toto u prvočísel nastává až po dokončení cyklu (po k-tém tvaru matice se opakuje 1. matice – tedy transpozice signatur které říkáme souřadnice systému rozvoje). Je to vliv té dvojky, která reálně dělí prvočíselný algoritmus.

Přes to že sudé čtverce nemají konkrétní osu matice, lze sestrojit dobré uspořádání tak jak ukazuje množina dvojic čísla 16. Tato množina také ukazuje, že nemá typicky prvočíselnou souřadnici, ale dobře uspořádat ji přes to lze.


VÝPOČTY – STATISTIKA

Tímto se dostáváme od názorných konstrukcí k výpočetním mechanizmům, které jsem sice dříve popsal a je to už dvě desítky let, ale bylo to více z pohledu aplikací, nežli z pohledu vlastní teorie.

Proto se kapitola místo vlastních popisů soustřeďuje na odkazování. Jednak na postupy popsané starší verzí stránek, ale také odkazy na vhodnější médium – sešity tabulkových procesorů. Původní zdroj je Calc Libre Office, ale tam kde není potřeba maker je Calc uložen do formátu XLS (EXCEL). Zde jsou například praktické ukázky substitucí vzorcem a další metody či nástroje.

V tomto duchu budeme pokračovat i v dalších kapitolách. Do rukou zájemců se takto dostanou generátory počínaje kombinacemi malých (n,k) až do extrémního systému Combin(n=Integer, k=1024) podobně variace až generátor Partitio Numerorum, nebo generátor Berger’s Table.


 

Přejít k navigační liště