Pascal’s triangle (PT)

Pascalův trojúhelník je klíčem k mnoha dalším matematickým disciplínám. Ukážeme si odvození Fibonacciho posloupnosti a podobně „e“ (Napier – Eulerovu konstantu jako základ přirozených logaritmů).

Odvození Fibonacciho posloupnosti

Fibonacciho posloupnost je pro každé následující číslo (člen) dána jako součet dvou členů předchozích. Existuje také ve formě součtu členů „mělkých úhlopříček“ z Pascalova trojúhelníku a tato posloupnost nás zájímá především.

Nejprve si pomocí tabulek ukážeme postup :

Pascalův trojúhelník s koeficienty
Koeficienty v Pascalově trojúhelníku
Vzorce v Pascalově trojúhelníku
Fibonacciho posloupnost (zeleně) v PT (zarovnání doleva)
Fibonacciho posloupnost z PT zarovnaná do řádku

Vzorec posloupnosti Fibonacciho sekvence Fs(n)

Posloupnost kombinačních čísel pro Fibonacciho posloupnost

Posloupnost odvozujeme z Pascalova trojúhelníku kde se vyskytuje v „mělkých úhlopříčkách“, což je celkem dost relativní pojem protože jde o to jak je Pascalův trojúhelník seřazen. Rozvoj jednotlivých členů kombinací je dán souhrnně jako rozvoj Partition Numerorum PN(n).

Poznámka k odvození Fibonacciho posloupnosti :

Odvození Fibonacciho posloupnosti z Pascalova trojúhelníku je všeobecně známé, i když jsem nedohledal kdo je autorem. Popis uváděný kombinacemi je správně, ale nikde jsem neviděl definici, která by říkala něco o souvislosti s partition (PN).

To, že se k (výběr z celku n) a zbytek n-k podobají rozvoji partition na úrovni první a druhé třídy je celkem intuitivní a myslím, že to muselo napadnout více lidí. Možná je nejvíce matoucí, že se musí sčítat členy k + n jednotlivých kombinací, ale tento součet je konstantní a rovná se velikosti startovního n pro řádek PT, proto se jedná o C(k,n-k). Je to postup podobný rozkladům polynomů. To je také důvod proč se Fibonacciho řady nachází v „úhlopříčkách“, které jsou někdy nazývány jako „mělké“. Stačí ale PT zarovnat doleva a z „mělkých úhlopříček“ jsou „úhlopříčky standardní“.

Fibonacciho posloupnost má souvislost se „Zlatým řezem“. Mezi každými dvěma čísly Fibonacciho posloupnosti existuje konstantní poměr zlatého řezu, který je využíván zejména přírodou ve formě různých spirál a původ lze dohledat na Pascalově trojúhelníku za pomoci PN.

Odvození nekonečné posloupnosti „e

Posloupnost pro „e“ je vyjadřována jako součet nekonečné řady členů. Konstanta „e“ má několik definic a také několik autorů. Jednou z definic je právě součet nekonečné řady :

Musíme upřesnit, že existuje celkem mnoho jinak podobných posloupností, které se objevují jako nově objevené a v současné době relativně často. Vzhledem k podstatě se jedná o ekvivalenty. Více o těchto záležitostech pojednává zejména OEIS®, například také zde Napier – Euler constants. Mnoho pojednání se zabývá vztahem konstant „e“ a „π“.

Často jde přímo, nebo nepřímo o Eulerovu identitu (uvádí se také jako Eulerova rovnost) která je vyjádřena vzorcem :

nebo také

Vzorec e + 1 = 0 byl vybrán jako „nejkrásnější vzorec“ obsahující všechny nejdůležitější konstanty konkrétně e, i, π, 0, 1. Všechny tyto konstanty lze najít přímo, nebo nepřímo také v Pascalově trojúhelníku a ještě mnohem více.

Jiný tvar posloupnosti „e“

Asi před 15 lety jsem se zabýval konstantami souvisejícími s Pascalovým Trojúhelníkem (PT). Hledal jsem posloupnost pro konstantu „π“ vyjádřenou pomocí kombinací. Takovou posloupnost jsem nenašel. Našel jsem ale náhodou posloupnost pro konstantu „e“. Věděl jsem, že to je nepřímo také „π“ pokud zohledníme vzorec e + 1 = 0. Známou posloupností je tento tvar :

Tato posloupnost směrem od nuly k n klesá :

e = 1 + 1 + 0,5 + 0,1666 + 0,041666 + 0,008333 + 0,0013888 + . . .

Úplně stejně se chová ekvivalentní vyjádření posloupnosti pomocí variací :

Toto je samo o sobě zařazení posloupnosti e do roviny kombinatoriky.

Skutečně jde pouze o ekvivalent původního vyjádření, protože i posloupnost členů je identická a jednoduchou úpravou se dopracujeme k původnímu známému tvaru posloupnosti.

Můžeme ale udělat ještě jinou úpravu. Vyjádříme variace jako k! * kombinace. Dále faktoriál k jednotlivých členů dělíme faktoriálem n, tedy 0!/n!, 1!/n!, 2!/n!, . . . n!/n!. Z faktoriálu n dostaneme pro jednotlivé členy variace ve jmenovateli :

Je to sice také ekvivalent, ale vlastní členy posloupnosti jsou ve výsledku řazeny opačně nežli má původní posloupnost. Členy klesají směrem k nule :

e = … + 0,0013888 + 0,008333 + 0,041666 + 0,1666 + 0,5 + 1 + 1

Tento tvar posloupnosti využívá celý řádek Pascalova trojúhelníku v čitatelích. Tím je myslím spojitost mezi Pascalovým trojúhelníkem a základem přirozeného logaritmu prokázána.

To co tím dokazujeme je také skutečnost, že řádek Pascalova trojúhelníku je dík osové souměrnosti také současně Gaussovo (normální) rozdělení promítnuté do posloupnosti Eulerova čísla e. To umožňuje pochopit podstatu aproximací pro různé účely. Když se podíváme například na Wikipedii získáme náhled do statistických postupů, které obsahují e i π. Gaussovo rozdělení.

Normální rozdělení nám vytvoří intuitivní asociaci ke kruhu, nebo kouli. Graf vypadá totiž jako obrys, nebo plocha nasypané hromádky písku, nebo sněhu, která měla nejspíš symetrický kruhový, nebo kulový tvar. Někdo si možná vzpomene na demonstraci paprsku světla procházejícího zdířkou a podobně.

Závěr

Domnívám se, že Pascalův trojúhelník (PT) ještě zdaleka nevydal všechna svá tajemství. Jen s tím co dnes už víme můžeme tvrdit, že je to symbol celé kombinatoriky a jako takový je vhodným úvodem zejména do algebry, ale i jiných oblastí matematiky.

Translate »