SQUARES OF PRIME NUMBERS

ČTVERCE PRVOČÍSEL

V úvodu je napsáno, že čtverce prvočísel jsou přímo požehnáním pro KONSTRUKTIVNÍ KOMBINATORIKU. Také jsem v předchozích kapitolách uváděl, že díky určité vlastni snadné manipulaci jsou preferována řešení na principech čtverců prvočísel před řešením na ostatních čtvercích.

Důvodem je jednoduchý algoritmus rozvoje matic. Přibližně je tento popsán v kapitole KOMBINATORIKA V PROSTORU, konkrétně jako text pod obrázkem Základní systém množiny C(9,2,3) pod nadpisem Prostor 3D při rozměru 3^3.

Algoritmus se týkal čtverce prvočísla 3, a v dalších pasážích je srovnáván také s postupem mnemotechnické pomůcky – Sarusova pravidla. To je ale úplně jiný postup. Přes to i tento postup lze využít pro větší čtverce lichých čísel, nebo prvočísel. Ukážeme si to názorně na čtverci čísla 5.

Matice čísla 5^2 (n=25)

Následující obrázek tabulky popisuje systém kombinací 2. třídy z celku (n= 25) v maticích 5×5. Jde celkem o 6 matic z nichž první je souřadnicí o které víme že je nekompatibilní se zbytkem protože je oproti nim transponovaná. Jedná se tedy o kubický prostor 5^3.

Vlastní algoritmus je porovnán ještě se Sarusovým pravidlem jako s reprezentací mnemotechnické pomůcky pro matice 5. řádu.

Grafický popis algoritmu pro systém Combin(25,2,5) + Sarusovo pravidlo

Matice čísla 7^2 (n=49)

Podobně jako v předchozím případě následující obrázek tabulky který popisuje systém kombinací 2. třídy z celku (n=49) v maticích 7×7. Jde celkem o 8 matic z nichž první je souřadnicí o které víme že je nekompatibilní se zbytkem protože je oproti nim transponovaná. Jedná se tedy o kubický prostor 7^3.

Vlastní algoritmus je porovnán ještě se Sarusovým pravidlem jako s reprezentací mnemotechnické pomůcky pro matice 7. řádu.

Grafický popis algoritmu pro systém Combin(49,2,7) + Sarusovo pravidlo

Tento popis už akcentuje více vlastní algoritmus rozvoje generátorem. Sarusovu pravidlu je věnován sloupec napravo už bez vlastního zdůvodnění. Platí že Sarusovo pravidlo využívá pouze 3. a poslední matici ať už jde o jakýkoliv systém prvočíselných čtverců.

Algoritmus generátoru je proveden barvami a šipkami které ukazují jak se systém rozvíjí z matice. Také je zde zvýrazněno, že po posledním cyklu se načte znovu už jen 2. matice a vše jde dokola znovu. Algoritmus tedy vlastně pracuje pod souřadnicí v prostoru 3D.

Sarusovo pravidlo startuje od třetí matice, protože sice vychází ze stejné souřadnice, ale tuto a ani její transpozici nevyužívá.

Matice čísla 11^2 (n=121)

Podobně jako v předchozím případě následující obrázek tabulky který popisuje systém kombinací 2. třídy z celku (n=121) v maticích 11×11. Jde celkem o 12 matic z nichž první je souřadnicí o které víme že je nekompatibilní se zbytkem protože je oproti nim transponovaná. Jedná se tedy o kubický prostor 11^3.

Vlastní algoritmus už obsahuje v záhlaví 3. a 12. matice poznámku že se matice týká Sarusova pravidla (jako s reprezentací mnemotechnické pomůcky pro matice 11. řádu).

Bohu žel jedná se o velice rozměrný obrázek, který už správně nevykresluje barvy rámečků které označují algoritmus – nyní už jen pro první řádky.

Grafický popis algoritmu pro systém Combin(121,2,11) + Sarusovo pravidlo

ZÁVĚR

Tímto končíme popis algoritmu pro prvočísla. Je to provedeno pouze grafickými prostředky. Ale nepokládám za potřebné vytvářet větší systémy, protože už systém C(121,2,11) by vyžadoval spíš obrázky jednotlivých matic.

Ke zpracování pomocí vzorců tabulkového procesoru a skriptu se ještě vrátíme v jiné kapitole. Současně si ukážeme také variaci prvků (k) jako matici (k)^2. Například pro matice 7×7, kdy každá matice z osmi obsahuje pouze čísla od 1 do 7. Jde o modulo čísla 7 které ukazuje variaci pozic, nebo také transpozici každé matice která může také posloužit jako algoritmus.

Pro čtverce prvočísel existuje typ rozšířeného módu, který rozvíjí každou souřadnici do rozměru C(n,2)^k.

Mnoho postupů se týká také substitucí u kterých se dá čekat rozšíření počtu (n) například na systém 2(k) ale i mnohem více.

Zde tyto postupy není vhodné vysvětlovat. Stačí názorně pochopit tak jak vypadá rozvoj souřadnice do systému všech dvojic, respektive souběh se Sarusovým pravidlem (účelové porovnání pro potřeby lineární algebry).

Přejít k navigační liště