V praxi nejčastěji užívaný termín. Stačí si připomenout, že binární soustava je také jen variací s opakováním – dvou prvků 0 a 1.

Bohu žel tento pojem patří mezi naprosto chybné definice nejméně z pohledu množin. Přes to do klasické kombinatoriky patří avšak ne pro tu skutečnost, že je to nejfrekventovanější pojem vůbec.

Pomocí výrazu 2^n je definována třída podle Pascalova trojúhelníku (PT), Je to ale stejně jenom výraz enumerace protože podstatou je součet všech tříd kombinací stejného základu n. Ukážeme si to pomocí n = 4, tedy 2^4 = 16. Vztahy uvnitř Pascalova trojúhelníku si nejprve vyjádříme pomocí vzorců kombinací se zápisem podle syntaxe tabulkových procesorů C(n;k) a obvyklejší podobě jako výsledků vzorců, kterým se říká koeficienty.

C(4;0) + C(4;1) + C(4;2) + C(4;3) + C(4;4) = 2^4 = 16

v rámci koeficientů potom :

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 2^4 = 16

To jsou variace s opakováním v prvé verzi plynoucí z PT. Existuje ještě druhá verze, celkem důležitější z hlediska odůvodnění. Je to důkaz získaný z výpočtů podle rozšířeného hypergeometrického rozdělení, které se řídí podle „Partition Numerorum“ (PN), které je běžně nazýváno zkráceným výrazem „partition“. Výběr k = PN(4) z celku n = k^2 = 16 :

1. 4

2. 3+1

3. 2+2

4. 2+1+1

5. 1+1+1+1

V rámci tohoto důkazu potřebujeme vědět, že k = 4 se promítne do pravidelně rozděleného n do podmnožin n(n1=4, n2 =4, n3 =4, n4 =4) = 16. Poslední případ PN(4) je také rozdělen pravidelně. Výpočtem zjistíme, že případ 5. řádku PN(4) se dá vyjádřit formou kombinací :

C(4;1) * C(4;1) * C(4;1) * C(4;1) = C(4;1)^4

v rámci koeficientů potom :

4^4 = 256

Počet kombinací C(16;4) = 1820 a poslední případ je potom dán jako 256/1820 = 14,07 %.

Například pro k = 5 PN(5) obsahuje 7 rozdělení, která se promítnou do pravidelně rozděleného n na podmnožiny n(n1=5, n2 =5, n3 =5, n4 =5, n5 =5) = 25. Poslední (7. případ) PN(5) = 1+1+1+1+1.

C(5;1) * C(5;1) * C(5;1) * C(5;1) * C(5;1) = C(5;1)^5

v rámci koeficientů potom :

5^5 = 3125

Počet kombinací C(25;5) = 53130 a poslední (7.) případ je potom dán jako 3125/ 53130 = 5,88 %.

Závěr :

Všechny pojmy s opakováním jsou zásadně chybné nejméně z pohledu množin. Přes to je můžeme posunout do oblasti běžných enumerací a využívat je bez dalšího tak jak jsme navyklí.

Variace s opakováním se někdy používají v upravených výrazech, kdy se například opakují jen dva, tři, 4… stejné prvky z většího počtu. Často je n zaměňováno s k takto : n^k, nebo k^n. Při tom je často k > n, což je nesmysl. Pokud je výběr k z celku n, potom k(max) = n. Nemůžeme z menšího počtu n vytvořit větší počet pozic k. V takovém případě nejde o kombinatorické k, n, protože to je konvencí dáno jako k ≤ n. Místo toho by se mělo používat obecnější x^y, nebo opačně y^x.

Ve skutečnosti se u variací s opakováním žádné stejné prvky neopakují, protože náleží různým podmnožinám. Například 32 hracích karet obsahuje 4 „barvy“ a v každé z nich se opakuje rozdělení od sedmiček po esa, ale nelze zaměnit například sedmičku zelenou s červenou sedmičkou. Podobně hod více kostkami se šesti čísly vyjádřenými tečkami. Jedna tečka na kostce A, není totožná s jedničkou jiné kostky. V takových případech platí, že existuje n = 32 pro balíček karet, a pro tři kostky n = 3 x 6 = 18 „čísel“.

Vzorec variací s opakováním vyjadřuje jen obecnější enumeraci x*x*x*x * … * celkem y krát. Je to specifický případ, ale je součástí obecnější enumerace například v*w*x*y*z, kdy proměnné nejsou shodné. Například při použití metody „BruteForce“, která používá k prolomení hesla do každé pozice z celku x všechny možnosti (kterých bývá od 64 do cca 100) můžeme eliminovat některé znaky. Pokud víme například, že na prvé pozici je vždy číslo postačí 10 číselných znaků prokombinovat místo všech (například 64). Pokud víme, že na některé pozici je velké písmeno bez diakritiky postačuje 25 znaků. To už můžeme nazvat jako heuristický přístup k problému.

Přestože je výraz variace s opakováním lingvistickým i věcným nesmyslem jsme celkem nuceni tento výraz zachovat. Jiné výstižné pojmenování by se našlo velice obtížně. Proto je tento výraz akceptovatelný díky tradičnímu formálnímu vyjádření, jen by měl každý vědět, že tento výraz není kauzální. Více například v kapitole „Nové kombinatoriky“ zde Základy kombinatoriky.