KOMBINATORIKA V PROSTORU

Všechny množiny prvků z oboru čísel „N“ (celých kladných čísel) počínaje číslem dvě tvoří dvojice jednic. Proto lze každé číslo větší nežli 2 rozložit na dvojice. Některé výhody při takových operacích jsme si ukázali právě na pojmu Berger‘s Table. Na tom příkladu jsme si ukázali vytvoření trojic z celku všech dvojic.

Nyní je nutné si vysvětlit obecnější vztahy mezi dvojicemi a trojicemi. Začneme s rozkladem čísla 7 na trojice, které obsahují všechny dvojice z celku 7. Takové označení vypadá jako hlavolam. Nic těžkého to není. Číslo 7 obsahuje 21 dvojic podle vzorce Combin(7;2). Jedna trojice obsahuje 3 dvojice podle vzorce Combin(3;2). Potom existuje řešení, které do systému trojic vměstná všechny dvojice tak, aby žádná nescházela, ani se neopakovala více jak 1x. Obsahy jsou celočíselně dělitelé 21/3 = 7 trojic. A vypadá to například následovně:

1. trojice 1 2 3 => rozpad na dvojice 12 + 13 + 23
2. trojice 1 4 5 => rozpad na dvojice 14 + 15 + 45
3. trojice 1 6 7 => rozpad na dvojice 16 + 17 + 67
4. trojice 2 4 6 => rozpad na dvojice 24 + 26 + 46
5. trojice 2 5 7 => rozpad na dvojice 25 + 27 + 57
6. trojice 3 4 7 => rozpad na dvojice 34 + 37 + 47
7. trojice 3 5 6 => rozpad na dvojice 35 + 36 + 56

Číslo 7 je často uváděno jako mystické. Něco málo pravdy na tom je. Ale z pohledu kombinatoriky nás sedmička v této podobě zajímá jen jako rozkladový vzor a skutečnost že je to prvočíslo jehož druhá mocnina vytváří pomocí dvojic symetrický kubický prostor. Musíme začít od začátku. Začátkem mám na mysli dvojku a trojku, následně pětku, sedmičku, číslo 11, 13, 17, 19 a tak dál.

Začneme ale od trojky, protože pracujeme s dvojicemi, takže i dvojka je zde zastoupena a podle této práce je dvojka ve formě dvojic zásadní záležitostí. Ještě se k ní dostaneme, ale až u čísla 4 které není prvočíslem a přes to garantuje typ prostorové krychle 4^3. Bohu žel je to zatím jediné sudé číslo mimo dvojky, které má zaručeně takovou vlastnost že vytváří symetrické 3D systémy dvojic.

Transcendence trojice popsané dvojicemi

Transcendence je určitý typ přesahu který si musíme explicitně vysvětlit. Nejde o žádnou magii, ale o tvrdou logiku věci.

Mějme příklad tří studentů řekněme magisterského studia, kteří už ví co chtít od života. Vědí tedy dobře jak si život usnadnit. Různé triky a fígle zná ze své vlastní praxe i přednášející a ten si život umí lépe zařídit protože je zkušenější 🙂

Takže přednášející bude mít například 7 studentů a ty rozdělí do trojic tak jak popisuje schema sedmičky (prakticky to může být jakékoliv číslo – vzpomeňme na [u]BT[/u] Berger’s Table.). Tyto trojice budou řešit úlohy podobného typu, ale tak aby žádný z nich nevěděl, kdo zpracovává stejnou úlohu. Každá úloha bude zpracována paralelně – nezávisle a nakonec ještě bude výsledek komparován (porovnán 3. účastníkem).

Takže naši tři studenti A, B, C se buď vůbec neznají, nebo znají ale nemají možnost „sladit“ svá řešení.

1. dvojice AB dostane zadání číslo 1
2. dvojice AC dostane zadání číslo 2
3. dvojice BC dostane zadání číslo 3

Potom je zde otázka komparace kterou bude provádět jedinec :

1. A komparuje zadání číslo 3 protože toto sám nezpracovával.
2. B komparuje zadání číslo 2 protože toto sám nezpracovával.
3. C komparuje zadání číslo 1 protože toto sám nezpracovával.

Každá trojice tedy zcela vyřeší 3 různá zadání včetně vyhodnocení. Přednášející překontroluje jen závěry. Pokud A měl obě svá řešení, tedy úlohy 1 a 2 vyhodnoceny jako správné, lze usuzovat, že i jeho komparace úlohy 3 bude validní.

[u]Takže to je návod na komerční využití Transcendence trojic.[/u] Uvedl jsem záměrně studenty a přednášejícího, ale půjde spíš o vědecké práce jako jsou rešerše, laboratorní testy, nebo komerční překlady.

---

PŘÍKLAD : Joanne Rowlingová vydá další knihu o které se ví že bude bestseller roku. Kdo první přeloží – vydělá. Ten kdo se zpozdí má smůlu (neuvažujeme o exkluzivitě udělené autorem).

Z tohoto důvodu je nutné rozdělit překlad na co největší počet překladatelů. Dá se to udělat velmi sofistikovaně. Nejprve vydavatel rozdělí celé dílo na stejné počty normostran (pochopitelně by měl umět pracovat s BT jinak bude mít potíže). Vypočítá kolik může nabídnout za normostranu * 3 zpracovatele.

Nabídne práci z domova přes internet – překlad normostran a částku za vlastní překlad + prémii za vyhodnocení (komparaci). 

Je samozřejmé, že nejprve si musí vytvořit tým spolehlivých a ochotných. V této fázi už stačí zredukovat BT pouze na 2 sloupce. Konkrétně díly složené ze dvou polovin AA, BB, CC,…..ZZ. A tyto zadá také paralelně v tomto pořadí + překrytě AB, BC, CD,…ZA.

Ty ochotné, schopné a spolehlivé osloví za účelem nepravidelných prací, respektive jen komparací a podobně. Těm ostatním nic takového nenabídne – zaplatí slíbené a poděkuje 🙂

---

Prostor 3D při rozměru 3^3

Tento prostor je vytvořen z matic prvků 3^2. Matice jsou výsledkem důsledného rozkladu dvojic celku 9 – tedy operací typu C(9,2,3) a jde opravdu o Kombinace.

Kombinace 2. třídy celku 9 jsou dány vzorcem Combin(9;2) = 36. Kombinace 2. třídy celku 3 jsou dány vzorcem Combin(3;2) = 3. Tato množství jsou celočíselně soudělná konkrétně 36/3 = 12 trojic které budou obsahovat všechny dvojice celku 9.

12 trojic lze seřadit tak aby vznikly 4 sloupce trojic. Jde tedy o 4 matice 3^2. Konkrétně :

Na obrázku tabulky vidíme vlevo vlastní systém jednic uspořádaný do matic 3×3. Barvy vykreslují algoritmus který je podobný spíš „tachometru“ nežli čemukoliv jinému. Tento algoritmus platí nejméně pro všechny prvočíselné čtverce. Z tohoto důvodu jsou prvočísla silně preferována pro všechna různá řešení.

První matice jsou signatury (podobně jako u BT). Tomuto uspořádání 1. matice budeme říkat SOUŘADNICE. Je totiž oproti ostatním maticím transponovaná a tím pádem s nimi není kompatibilní – to si dále vysvětlíme.

Ve sloupci na pravé straně jsou do matic zapsány dvojice (kterých je stejně jako jednic, proto si to můžeme v tomto případě dovolit).

Z důvodu nekompatibility souřadnice jako 3D prostor uvádíme jen matice 2 až 4. Máme k tomu ještě jiný důvod. Tyto 3 matice neomylně detekují svou souřadnici. Proto ji nemusíme vyjadřovat – je vždy přítomna jako transpozice každé matice ze zbylých tří.

Princip je jednoduchý ztotožníme každou matici jako vrstvu prostoru 3D. Tím získáme prostorový útvar 3^3. Stejný princip platí o systémech které lze sestrojit do čtvercových matic. Dostáváme podobu jakoby Rubikovy kostky, ale spíš jde o typ databázového útvaru HYPER CUBE (OLAP).

Matice se v „rozvinutém“ tvaru podobají oblíbenému rébusu SUDOKU ke kterému se dá systém použít přímo. Dokonce má nečekané vlastnosti. Může obsahovat tajenku ve formě skryté „souřadnice“. Aplikací by se našlo více. Jde zejména o vlastnosti které si popíšeme dále. Nyní si ukážeme zajímavou a celkem jistě nečekanou vlastnost.

Devítka obsahuje 84 trojic podle vzorce Combin(9;3) = 84. Také jsme vyjádřili výše, že 1 systém dvojic vyčerpá 12 trojic. Tato čísla jsou opět soudělná. 84/12 = 7. Teoreticky by mělo jít sestrojit 7 různých systémů dvojic které obsahují všechny trojice. A ono to opravdu lze sestrojit :

Nečekaná vlastnost devítky.

Mohlo by se zdát, že jsme se dopracovali celkem snadno pomocí kupeckých počtů k tomu, že lze seřadit všechny trojice do systémů matic.

Ale položil jsem si otázku kolikrát jinak lze sestrojit dobře uspořádaný systém C(9,3,3). A tady už ty kupecké počty nestačí. POZNÁMKA : Nedomnívám se, že by kdokoliv dovedl analyticky predikovat počet různých systému trojic (obecně k-tic) které lze sestrojit aniž by mohl vycházet z konkrétního důkazu. Osobně jsem vždy narazil na nečekané jevy ačkoliv „kupecké počty“ dávaly dobré předpoklady. Systémy devítky jsem řešil metodou hrubé síly. U matic 4×4 vypadá vše podobně – ale sestrojil jsem pouze jediný sloupec trojic C(16,3,4) z 13-ti. Byl jsem nadšený právě z tohoto prvočísla, ale i když jsem sestrojil další sloupec – neobsahoval žádnou čtveřici ze zbylých 12-ti typu 1+2+3+(5….16) – a brute force selhala. Nedokázal jsem sestrojit dobře uspořádaný systém C(16,4). Proto nemohu ani uvažovat o tom kolikrát jinak lze takový systém sestrojit. Nemám kapacity které bych mohl využít abych podal takto docela podstatný důkaz (ačkoliv z mého pohledu celkem malicherný). Jedná se o číslo 16 a tím pádem o oblast zajímavou jen z pohledu IT a trošku z pohledu Teorie čísel.

[u]Provedl jsem úplný rozbor všech možných uspořádání na systému devítky. Je jich přesně 15360.[/u]

Jedná se řazení kombinačního typu. Nejde o variace. Jde jen o kombinace kombinací. Když se do enumerace zapojí všechny variace a možnosti dopracoval jsem se k vyjadřovací schopnosti 10^373. Jde o hyperprostory neuvěřitelných rozměrů. Odhadl jsem že přibližně 10^273 lze využít jako adresných cílů. Zbytek by vyžádal systém indexů adres (trigerů). Počet variant Rubikovy kostky není souměřitelným ekvivalentem. Pohybujeme se daleko za hranicí absolutního enumeračního počtu PN(9)*9! který považujeme za standardní potenciál kombinatorických operací nad množinou (n) – konkrétně PN(n)*n!.

Ale vyjadřovací schopnost je dána ještě esem – PN(9). Výše jsem uvedl pouze systémy 3×3 = jediný řádek z PN(9,3). Takže problém směrovačů adres může být řešen jinými třídami PN. Je otázkou zda je takových uspořádání potřeba. Problém je v tom, že takový systém má víc úrovní zanoření nežli má vlastní cílový systém jednoznačných identifikátorů. Navíc je potřeba aritmetické operace k dosažení cíle.

[u]Zajímavé aplikace pro oblast matic a tenzorů.[/u]

Vysvětlíme si vztah k teorii lineární algebry a systému C(9,2,3). Dá se vyjádřit že mnemotechnická pomůcka SARUSOVO pravidlo je jen určitou verzí systému C(9,2,3) Viz popis :

K tomuto tématu se vztahuje také doplnění naznačené v předchozí tabulce. Celkem jde jen o to, že k Sarusovu pravidlu je potřeba jen dvou generovaných matic. Není tedy potřeba SOUŘADNICE ani její transpozice ve formě matice číslo 2. Tyto matice které používá Sarusovo pravidlo jsou dány jako rozdíl součinu členů trojice a jejich součet za matici = hodnota matice.

Vše souvisí s tím, že ideální úprava vytvoří souřadnici lineárních rovnic typu 1< 2 < 3 | 4 < 5 < 6 | 7 < 8 < 9. Ale každá základní trojice typu 1 < 2 < 3 představuje 10 různých variant (polovin) ze zbytku 6 čísel. A to je jenom jedna ze 4 matic. Viz :

To je problém který není Sarusovým pravidlem řešen. Systémů daných kombinacemi C(9,2,3) ze startovní trojice 123 je 120. Potenciálně tedy existuje 120 různých hodnot matic podle Sarusova pravidla. Připomínám že jde o algebru kdy neznáme skutečné členy ve smyslu jejich „velikosti“. Známe jen numerické skaláry.

Předpokládám, že mnoho variant bude mít stejný, nebo hodně podobný výsledek. Ale také musíme předpokládat, že ne všechny hodnoty matic budou stejné v rámci 120-ti ekvivalentů.

---

Závěr kapitoly

V každém případě nám algoritmus rozvoje devítkových souřadnic ukazuje cestu k vyšším třídám lineárních rovnic. Zde bývá uváděno, že takové systémy jsou náročnější na úpravy a výsledek bývá nejednoznačný. Většinou se tyto řeší pomocí menších matic a proto můžeme chápat význam důkladných rozborů – tedy určitá forma kombinatorických dobře uspořádaných rozkladů jako aplikace pro lineární a i obecnou algebru. Zde bych chtěl připomenout závěrečnou pasáž z předchozí kapitoly – Vzorové příklady 1 a 2. Vidíme jaká je podstata rozborů. K obrázku je jenom neurčitým způsobem připsáno že se to týká také posloupností a rozkladu polynomů. Ale není už uvedeno, že se to týká také derivací a integrálního počtu. K tomu se samozřejmě dopracujeme v jiné kapitole.