ÚVOD
Toto je úvodní kapitola která má za úkol objasnit pojem KONSTRUKTIVNÍ KOMBINATORIKA ze všech úhlů pohledu. Vycházím při tom ze skutečnosti, že práce je určena co nejširšímu okruhu zájemců. Takže většina práce se skládá z názorných příkladů a komentářů které vyhovují intuitivnímu pochopení. Některé pasáže jsou určeny povolaným. Jsou většinou až za intuitivním popisem, který je někdy až infantilní.
Přes to začínám kapitolou Základy kombinatoriky, která by měla vysvětlit a snad i napravit nedostatky v základech, které se v této době standardně učí. Tato skutečnost má až takovou takovou míru nedostatků, že je téměř nemožné popsat kombinatoriku pomocí logiky a množin. Rehabilitace kombinatoriky
Technické poznámky :
Zde je uveden jakýsi výběr témat většinou bez přímé návaznosti navzájem sebe. Spojitosti sice existují, ale to si musí každý uvědomit sám i když jsou někde přímo poznámky, nebo odkazy.
Nadpisy pokud jsou zeleně obarevné
jsou v této kapitole hypertextovými odkazy na detailní článek.
Jednou z problematik, kterou přímo v článcích řeším je syntaxe vzorců. Valnou část vzorců uvádím v podobě, která se shoduje syntakticky se vzorci tabulkových procesorů. Ale u nás i ve světě se používá podobný zápis v jiném pořadí. Tabulkové procesory uvádějí v závorce nejprve n jako počet možných, následuje středník a za ním výběr z celku k. Před závorkou je buď COMBIN (kombinace), COMBINA (kombinace s opakováním), PERMUT (variace bez opakování), nebo PERMUTATIONA (variace s opakováním).
Již dříve se používaly zápisy typu C(k,n), C'(k,n), V(k,n), V'(k,n) ale pouze pro textové popisy v učebnicích. Ještě dříve se používaly značky C a V spolu s horním a dolním indexem (k,n).
Co je správně, nebo nesprávně (archaicky) je otázka
Samozřejmě tvary s kombinačními čísly n nad k v závorkách jsou správně, ale musí se psát ve specializovaném editoru (Tex, Latex) a i tak to není úplně snadné.
U zápisů C, V s horním a dolním indexem je celkem zavádějící co má být ve kterém indexu. Významy se liší autor od autora. Tyto tvary usnadňovaly zápis v běžném textu ještě před počítačovou dobou. V současných textových editorech jsou tyto formáty odkázané také na specializovaný editor i když horní a dolní index lze psát také, jenomže tyto indexy nejsou přímo nad sebou Cnk , Ckn nebo Vnk , Vkn
Nejsnadněji se zapisují v běžném textu vzorce typu C(n;k), V(n;k). Proto osobně většinou preferuji zápis podobný se zápisem v tabulkovém procesoru. Tedy C, V, v závorce nejprve n, středník a nakonec výběr (třída) k. Někdy (například v Základech kombinatoriky) používám opačné pořadí v závorce a místo středníku použiji čárku.
Důvod použití tvaru C(k,n), V(k,n) je velmi prostý. Jde o lingvistiku. Snadněji se čte „kombinace k-té třídy z n možných“, nežli opačně „kombinace n možných a výběru (třídy) k.
BERGER’S TABLE
Toto je záměrně zvolená první kapitola. Bergrovy tabulky jsou celkem běžným prostředkem zejména v rámci rozdělení různých turnajů sportovního charakteru. Celkem je znám i skript na generování a určitá část vědecké komunity si je vědoma důležitosti tohoto pojmu. Proto tak mohu navázat aniž bych vysvětloval zbrusu nový pojem. Domnívám se dokonce, že i témata zabudovaná do této kapitoly jsou už v ohnisku zájmů určitých studií a projektů. Proto se mi zdá toto téma vhodné jako úvodní do problematiky KOMBINATORICKÝCH KONSTRUKCÍ.
ZÁKLADEM VŠEHO JSOU DVOJICE
Dvojice jsou známé jako základ rodiny a rodina zase jako základ státu. Tohle je absolutní pravda zejména z pohledu filozofického, který se opírá o čistou pragmatičnost v rámci žití a ve vyšším stupni také civilizačního faktoru. Důsledkem civilizačního rozvoje dochází k nárůstu obecné inteligence komunitních společenstev. Prostředkem je sdílení a následné využití informací.
Je celkem známou skutečností, že za úspěchem dnešní doby – řekněme 21 století stojí výpočetní technika, tedy počítače. Počítače stojí ne náhodou na dvojkové soustavě. Za úspěchem obecného života stojí také určitý druh dvojkové soustavy. Tato soustava je ale spíše systémem „dvojitě“ binárním. Sestává ze 4 různých základních prvků jako DNA (A, G, C, U), nebo ve verzi RNA (A, G, C, T) kde je „substitučně“ vložen 5. prvek (T místo U). Když se hovoří o DNA tak každému se vybaví pojem „dvojitá šroubovice se základem v bázových párech“. Celý systém má 64 základních stavebních kamenů KODONŮ které jsou sami o sobě TROJICEMI základních nukleotidů. Z těch je stvořeno vše živé.
Sám život je tedy postaven z 64 prefabrikátů a stojí na trojicích (variace s opakováním 3. třídy celku 4 >> výraz V‘(4,3) = 64) a tyto trojice zase na dvojicích z celku 4. Číslo 4 je velmi zajímavé samo o sobě protože 4/2 = sqrt(4) neboli 2*2 = 2+2 a je to jediné číslo s touto vlastností. Takže žádná náhoda mezi výší inteligence a dvojkou jako dvojicí jednic. Existuje přímá logická vazba mezi životem obecně a informatikou – touto vazbou jsou dvojky.
KOMBINATORIKA V PROSTORU
Navazujeme na téma uvedené dříve v kapitole ZÁKLADEM VŠEHO JSOU DVOJICE. Nejprve se dotkneme opatrně trojic a pak také vyšších k – tic.
Tvrzení z této kapitoly má dvě základní vyjádřené alternativy. Dovolím si vyjádřit že se jedná o dvě podstatná paradigmata.
Jednou z alternativ jsou symetrické matice které nelze sestrojit. Jedná se zejména o matice 6×6 a 8×8 známé jako problém Latinských čtverců.
Další alternativou jsou systémy matic které lze sestrojit, ale nejsou to symetrické krychle. A to je alternativa právě například pro symetrické krychle které nelze sestrojit. Jde většinou o čtverce se sudým čtvercem prvků. Přes to existují nejméně dva případy které sestrojit lze. konkrétně 2^2 a 4^2.
Vždy z obecného pohledu lze sestrojit prostorový útvar. Rozdíl je pouze v jaké symetrii je prostor vytvořen. Mnohdy lze úspěšně sestrojit z původně nesymetrického prostoru prostor dobře uspořádaný například ve formě tenzorů ale také odvozených symetrických matic.
PRVOČÍSELNÉ ČTVERCE
Prvočísla jsou ze všech úhlů pohledu velkou neznámou. Ale pro KONSTRUKTIVNÍ KOMBINATORIKU jsou přímo požehnáním. Na čtvercích prvočísel můžeme aplikovat velmi jednoduchý algoritmus kterým sestrojíme prostor 3D.
ACTUS PRVOČÍSELNÝCH ČTVERCŮ
Jde o skalární řadu povýšení všech sestrojitelných symetrických 3D systémů na systémy nesymetrické.
ACTUS se jeví také jako vhodný nástroj pro konstrukci prvočíselné řady. V některých případech úprava vede přímo na prvočíslo, ale dá se očekávat že častěji se bude jednat o systémy které mají základ v součinu dvou prvočísel.
ACTUS je v principu algoritmus s poměrně širokým spektrem možných aplikací. Patří mezi nástroje KONSTRUKTIVNÍ KOMBINATORIKY.
LICHÉ ČTVERCE
V případě lichých čtverců je situace trošku lepší, nežli u sudých čtverců. Zřejmě jen velmi mírně lepší.
Problematika lichých čtverců není dobře prozkoumána. Vše naznačuje tomu, že by mohlo existovat řešení pro všechna lichá čísla. Příklad ukazuje systém kombinací 2. třídy ze základu 81, což je čtverec čísla 9. Devítka je první liché číslo, protože před tímto jsou pouze sudá čísla a prvočísla. Devítka je ale specifická tím, že je to mocnina čísla 3 a není tedy typickým lichým číslem.
Domnívám se že existuje řešení i pro systémy lichých čísel, které jsou součinem dvou prvočísel. Podat validní důkaz je velice obtížné vzhledem k potřebné výpočetní kapacitě.
Při tom se musí počítat s variantou, že některá lichá čísla je možné zpracovat pomocí prvočíselného algoritmu bez úprav, ale někdy bude úprava nutná. Můžeme očekávat případy kdy se problém bude muset řešit výhradně hrubou silou. Z toho pak lze vytvořit nový typ algoritmu, nebo potvrdit validně, že konkrétní systém nemá řešení.
SUDÉ ČTVERCE
Problém sudých čtverců je největší výzvou kombinatorických konstrukcí. V době kdy píšu tyto stránky znám mimo čtverce 2×2 pouze částečné setřídění čtverců 4×4. Při tom jsou sudé čtverce zajímavé zejména pro informatiku. Výzvou jsou zejména čtverce 6×6 a 8×8 plus další čtverce binární řady.
Přes to, že je znám problém Latinských čtverců a vím jaké je podstata, tak doufám že se najde obecné řešení pro čtverce sudých čísel. Ona stačí maličkost a je po problému.
Když se použije na čtverec sudého čísla prvočíselný algoritmus, tak funguje přesně do poloviny rozvoje. Poté opakuje od začátku. Toto u prvočísel nastává až po dokončení cyklu (po k-tém tvaru matice se opakuje 1. matice – tedy transpozice signatur které říkáme souřadnice systému rozvoje). Je to vliv té dvojky, která reálně dělí prvočíselný algoritmus.
Přes to že sudé čtverce nemají konkrétní osu matice, lze sestrojit dobré uspořádání tak jak ukazuje množina dvojic čísla 16. Tato množina také ukazuje, že nemá typicky prvočíselnou souřadnici, ale dobře uspořádat ji přes to lze.
VÝPOČTY – STATISTIKA
Tímto se dostáváme od názorných konstrukcí k výpočetním mechanizmům, které jsem sice dříve popsal a je to už dvě desítky let, ale bylo to více z pohledu aplikací, nežli z pohledu vlastní teorie.
Proto se kapitola místo vlastních popisů soustřeďuje na odkazování. Jednak na postupy popsané starší verzí stránek, ale také odkazy na vhodnější médium – sešity tabulkových procesorů. Původní zdroj je Calc Libre Office, ale tam kde není potřeba maker je Calc uložen do formátu XLS (EXCEL). Zde jsou například praktické ukázky substitucí vzorcem a další metody či nástroje.
V tomto duchu budeme pokračovat i v dalších kapitolách. Do rukou zájemců se takto dostanou generátory počínaje kombinacemi malých (n,k) až do extrémního systému Combin(n=Integer, k=1024) podobně variace až generátor Partitio Numerorum, nebo generátor Berger’s Table.
PASCAL’S TRIANGLE (PT)
Pascalův trojúhelník symbolizuje prakticky celou kombinatoriku, je znám už hodně dlouho, ale stále nevydal všechna svá tajemství. Proto je předmětem zkoumámí i v dnešní době.
Na tomto vyjádření je fascinující co se z něho dá vyčíst a odvodit. Obsahuje posloupnosti jako je například součet čísel z řádku Pascalova trojúhelníku, který je roven mocnině čísla 2, nebo Fibanacciho posloupnost, a nebo fraktální útvary a další.
Lze na něm odvodit součet nekonečné řady (z řádku PT) pro „e“, tady základu přirozeného logaritmu ve formě součtu nekonečné řady, nebo také uváděné jako limita následující posloupnosti. Nevím zda je možné uvádět tuto skutečnost jako nově objevenou, nebo jen nově vyjádřenou. V každém případě jsem našel souvislost která je mírně odlišná od dříve uvedeného součtu :
Nová řada je jakoby opačně seřazena nežli původní vyjádření. Mimo toho nám ukazuje, že do takové řady jsou zapojeny kombinace a variace. U kombinací je zajímavé, že se jedná o celý řádek Pascalova trojúhelníku, který má symetrii podle osy, čímž připomíná normálové (normální) rozdělení a intuitivně také kruh, kružnici, nebo kouli.
Já pohříchu nevím, jak se na původní vyjádření součtu nekonečné řady pro „e“ přišlo. Já jsem hledal na PT vyjádření pro „π“, tedy podobnou konstantu, ale místo toho jsem nalezl „e“. Takže jsem byl nakonec spokojený, protože na PT lze nalézt všechny nejdůležitější konstanty a to „π“ je součástí Eulerovy identity.
